Теорема о среднем значении интеграла

Теорема о среднем определенного интеграла

Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем: если функция непрерывна на интервале , то внутри этого интервала найдется такая точка , что .

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что внутри интервала интегрирования всегда найдется такая точка

, что площадь криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника со сторонами

Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной, является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь – середину интервала интегрирования (как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:

· построить график функции на интервале ;

· провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке – два криволинейных треугольника практически одинаковы);

· определить из рисунка ;

· воспользоваться теоремой о среднем.

В качестве примера вычислим простой интеграл :

- точное значение ;

- для середины интервала получим и приближенное значение , т.е. явно неточный результат;

- построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим , откуда и приближенное значение . Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.

Формула трапеций

Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.

В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования – формулу трапеций. Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.

Тогда из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей нескольких прямоугольных трапеций. Ясно, что чем точнее проводится ломаная (т.е., чем больше прямолинейных отрезков в ее составе), тем ближе она к реальной кривой и сумма площадей элементарных трапеций сходится к точному значению площади криволинейной трапеции и, следовательно, к значению данного интеграла.

Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом. Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,

Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид

Точность формулы трапеций зависит от принимаемого (самостоятельно) числа разбиений . Хотя в учебной литературе приводятся способы оценки погрешности этой формулы, на практике удобно произвести два расчета (в ответственных задачах) при разных значениях . На пример, при и . Если результаты близки, то расчет заканчивается, иначе рекомендуется повторить вычисления при или . Расчеты удобно производить в табличной форме или на компьютере.

Отметим, что имеется большой ряд и других способов численного интегрирования или, иначе, квадратурных формул: прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .

С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как "неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.

studopedia.ru

Первая теорема о среднем

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка

Пусть функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} интегрируема на отрезке [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} , и ограничена на нём числами m {\displaystyle m} и M {\displaystyle M} так, что m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} . Тогда существует такое число μ {\displaystyle \mu } , m ≤ μ ≤ M {\displaystyle m\leq \mu \leq M} , что

∫ a b f ( x ) d x = μ ( b − a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\mu (b-a)} .

Доказательство

Из неравенства m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} по свойству монотонности интеграла имеем

m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) {\displaystyle m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)} .

Обозначив μ = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx} , получим требуемое утверждение. Так определённое число μ {\displaystyle \mu } называют средним значением функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} на отрезке [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} , откуда и название теоремы.

Замечание

Если функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} непрерывна на [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} , то в качестве m {\displaystyle m} и M {\displaystyle M} можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по известной теореме существует такая точка c ∈ [ a ; b ] {\displaystyle c\in [a;b]} , что f ( c ) = μ {\displaystyle f(c)=\mu } , поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b − a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)} .

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

F ( b ) − F ( a ) = F ′ ( c ) ( b − a ) {\displaystyle F(b)-F(a)=F'(c)\;(b-a)} ,

где F ( x ) {\displaystyle F(x)} — первообразная функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} , что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции F ( x ) {\displaystyle F(x)} .

Обобщение

Пусть функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} и g ( x ) {\displaystyle g(x)} интегрируемы на отрезке [ a ; b ] {\displaystyle [a;b]} , причём по-прежнему m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} , а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: g ( x ) ≥ 0 {\displaystyle g(x)\geq 0} , либо всюду неположительна g ( x ) ≤ 0 {\displaystyle g(x)\leq 0} ). Тогда существует такое число μ {\displaystyle \mu } , m ≤ μ ≤ M {\displaystyle m\leq \mu \leq M} , что

∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = μ ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)dx} .

Доказательство

Пусть g ( x ) {\displaystyle g(x)} неотрицательна, тогда имеем

m g ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ M g ( x ) {\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)} ,

откуда, ввиду монотонности интеграла

m ∫ a b g ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ≤ M ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _{a}^{b}g(x)dx} .

Если ∫ a b g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)dx=0} , то из этого неравенства следует, что ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0} , и утверждение теоремы выполняется при любом μ {\displaystyle \mu } . В противном случае положим

μ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}}} .

Обобщение доказано. Если функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} непрерывна, можно утверждать, что существует точка c ∈ [ a ; b ] {\displaystyle c\in [a;b]} такая, что

∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( c ) ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx}

(аналогично предыдущему).

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т. II.
Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1981.

ru.wikipedia.org

Вторая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx} и может быть сформулирована в разных формах. Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении.[1]

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и f ( x ) ⩾ 0 {\displaystyle f(x)\geqslant 0} на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} такая, что ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) ∫ a ξ g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }g(x)dx} .

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и f ( x ) ⩾ 0 {\displaystyle f(x)\geqslant 0} на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} такая, что ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( b ) ∫ ξ b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(b)\int \limits _{\xi }^{b}g(x)dx} .

Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} такая, что ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) ∫ a ξ g ( x ) d x + f ( b ) ∫ ξ b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }g(x)dx+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}g(x)dx} .

ru.wikipedia.org