Действующее и среднее значение переменного тока

2.1.3. Среднее значение переменного тока и напряжения

Среднее значение переменного напряжения, ЭДС и тока за период равно нулю, так как площадь отрицательных и положительных полуволн синусоид равны по величине и различны по знаку (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Поэтому, когда говорят о среднем значении переменного тока i, напряжения u или ЭДС е, под ним подразумевается среднее значение за половину периода Т/2 между двумя нулевыми значениями величины 0 и 01.

Например, среднее значение переменной ЭДС любого вида определяется так:

Если ЭДС изменяется по синусоидальному закону е, то можно установить простую зависимость между средним значением ЭДС Eср и его амплитудным значением Е_m.

а так как ,

то =0,637.

Аналогично получим средние значения напряжения и тока:

2.1.4. Действующее значение переменного тока и напряжения.

В электротехнике часто приходится иметь дело с тепловыми и механическими действиями переменного тока.

Механическая сила взаимодействия двух проводников с одинаковыми токами и тепловое действие тока пропорциональны квадрату мгновенных значений тока. Для переменного тока тепловое или механическое действие определяется средним значением квадратов токов за период, называемым действующим значением тока.

Иначе говоря, действующее значение переменного тока равняется постоянному току, выделяющему за время, равное периоду, в каком-либо проводнике такое же количество тепла, что и данный переменный ток.

Количество теплоты, выделяемое постоянным током в резисторе с активным сопротивлением r за промежуток времени Т, равный периоду переменного тока, составляет:

=0,24

Количество теплоты, выделяемое переменным током в том же элементе за промежуток времени dt, равно:

Количество теплоты, выделяемое переменным током за период Т, равно:

Приравнивая количество теплоты, выделяемое постоянным и переменным токами, получим:

Отсюда получим действующее значение тока:

Аналогично для напряжений и ЭДС переменного тока имеем:

Выражения для I,U и Е определяют в общем виде действующие периодические токи, напряжения и ЭДС при любом законе их изменения.

Для синусоидального переменного тока i=будем иметь:

Второй интеграл равен нулю, и для действующего синусоидального тока имеем:

Аналогично получим выражения для действующих синусоидальных ЭДС и напряжения:

Градация вольтметров и амперметров, предназначенных для работы в цепи синусоидального тока, обычно показывает непосредственно действующие значения напряжения или тока.

2.1.5.Векторные диаграммы переменного тока.

Как было установлено, гармонически изменяющееся напряжение в общем виде определяется выражением:

Зная амплитуду напряжения U_m и аргумент синусоидальной функции , можно с помощью несложных математических операций определить мгновенные значения напряжения u в любой момент времени. Наряду с аналитическим способом расчёта получить u можно графически, например, по временной диаграмме гармонической переменной (рис. 2.7).

Однако при различных расчётах бывает удобнее пользоваться методом векторных диаграмм. Применение векторных диаграмм при исследовании цепей переменного тока позволяет наглядно представить рассматриваемые процессы и упрощать производимые расчёты.

Рис. 2.7

Синусоидальный ток и напряжение можно представить как вектор, движущийся по окружности со скоростью . Мгновенные значения будут равны проекции этого вектора на ось Y.

Суть данного метода заключается в следующем: если какая-нибудь точка движется с постоянной скоростью по окружности, то её проекция на любой диаметр (горизонтальный- воображаемая ось Х или вертикальный- ось Y) совершает гармонические(синусоидальные колебания). Радиус-вектор ( в дальнейшем для краткости будем называть просто вектор) этой точки вращается с постоянной угловой скоростью .

Рис. 2.8

Если этот вектор (рис. 2.8) в известном, произвольно выбранном масштабе изображающий амплитуду напряжения U_m ( тока и ЭДС), занимает в начальный момент времени (t=0) горизонтальное положение, вправо от центра вращения 0 и вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то в произвольный момент времени t, когда он образует с горизонталью уголt, проекция его на вертикальную ось Y в том же масштабе покажет соответствующее мгновенное напряжение:

Если же вектор U_m в начальный момент расположен не горизонтально, а образует с осью абсцисс Х угол , то проекция на ось Y покажет мгновенное значение напряженияопережающее предыдущее на часть периода. Представим этот случай графически. Расположим под угломотносительно положительной оси абсцисс вектора U_m, длина которого в заранее выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Положительные углы ( начальные фазы напряжения , а так же толькопринято откладывать в направлении против часовой стрелки, а отрицательные () - по часовой стрелке ( рис.2.9, показана положительная начальная фаза напряжения).

Предположим, что вектор Ū_m , начиная с момента времени t=0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения , равной угловой частоте изображаемого напряжения.

В момент времени t вектор Ū_m повернётся на угол t и будет расположен под углом по отношению к оси абсцисс X.

Проекция этого вектора на ось координат Y в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения .

Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором. При начальной фазе, равной нулю (когда, вектор Ū_m для t=0. (рис. 2.8) расположен на оси абсцисс.

При больше или меньше 0 положение векторадля t=0 определяется знаком и величиной начальной фазы напряжения.

Обычно при расчёте цепи используются действующие ЭДС, напряжения и токи( или амплитуды этих величин), а так же их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядней. Такая диаграмма называется векторной. Иными словами векторная диаграмма является совокупностью векторов, изображающих движущиеся синусоидальные ЭДС, напряжения и токи или их амплитудные значения. Углы сдвига по фазеоткладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительны (например,, и в обратном направлении, если они отрицательны (. Если, например, начальный фазовый угол ЭДСбольше начального фазового угла(см. временную диаграмму на рис. 2.10), то соответственно сдвиг по фазеи этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока (рис. 2.10).

Мгновенные значения ЭДС и тока в начальный момент отсчета ( дляопределяются проекциями амплитудных значений их векторовна ось ординат Y в заданном масштабе расчётных параметров e и i.

Рассмотрим сложение ЭДС, токов и напряжений на векторной диаграмме. При исследовании цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи и напряжения одной и той же частоты.

Рис. 2.10

Предположим, что требуется сложить две ЭДС:

Такое сложение можно осуществить аналитически ( путём математических вычислений) и графически с помощью векторных диаграмм. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е₁ и е₂ в определенном масштабе представлены векторами и(рис. 2.11)

Рис. 2.11

При вращении этих векторов с одинаковой частотой вращения, равной угловой частоте переменного тока , взаимное расположение вращающихся векторов относительно друг друга остаётся неизменным. Сумма проекций вращающихся векторовина ось ординат (е₁ и е₂) равна проекции на ту же ось Y вектора , равного геометрической сумме векторови:

Указанный способ сложения двух ЭДС универсален, его можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС, напряжений и токов одной частоты. При этом операцию вычитания можно представить в виде сложения, проведя элементарные преобразования.

Например, , то есть уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком.

На практике векторные диаграммы, как правило, строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС, напряжений и токов, а для действующих величин E, U и I, пропорциональных амплитудных значениям , так как все расчёты цепей выполняются для действующих значений ЭДС, напряжений и токов.

StudFiles.ru

Мгновенные, максимальные, действующие и средние значения электрических величин переменного тока

Мгновенное и максимальное значения. Величину переменной электродвижущей силы, силы тока, напряжения и мощности в любой момент времени называют мгновенными значениями этих величин и обозначают соответственно строчными буквами (e, i, u, p).
Максимальным значением (амплитудой) переменной э. д. с. (или напряжения или тока) называется та наибольшая величина, которой она достигает за один период. Максимальное значение электродвижущей силы обозначается Е_m, напряжения — U_m, тока — I_m.

Действующим (или эффективным) значением переменного тока называется такая сила постоянного тока, которая, протекая через равное сопротивление и за одно и то же время, что и переменный ток, выделяет одинаковое количество тепла.

Для синусоидального переменного тока действующее значение меньше максимального в 1,41 раз, т. е. в раз.

Аналогично действующие значения переменной электродвижущей силы и напряжения меньше их максимальных значений тоже в 1,41 раза.

По величине измеренных действующих значений силы переменного тока, напряжения или электродвижущей силы можно вычислить их максимальные значения:

E_m = E · 1,41; U_m = U · 1,41; I_m = I · 1,41;

Среднее значение= отношению количества эл энергии прошедшего через сечение проводника за половину периода к величине этого полупериода.

Под средним значением понимают среднеарифметическое ее значение за половину периода.

studopedia.ru

Действующее и среднее значения синусоидальных величин

При практическом использовании переменного электрического тока широко применяют действующие значения тока (ЭДС, напряжения). Большинство расчетов проводится с использованием действующих значений величин. Шкалы большинства приборов проградуированы в действующих значениях измеряемых величин и в паспортных данных на электротехнические приборы приводятся действующие значения токов и напряжений.

Действующее значение I переменного тока (ЭДС, напряжения), или действующий ток (ЭДС, напряжение) – это среднее квадратичное значение тока (ЭДС, напряжения) за период Т:

. (5.3)

Действующим значением I переменного тока называется такое значение постоянного тока, при прохождении которого через резистивный элемент, на нем за период Т выделится такое же количество энергии, что и при прохождении переменного тока.

Для синусоидального тока установим соотношение между амплитудным и действующим токам. Для интеграла тока запишем:

. (5.4)

Поскольку , перепишем (5.4) в виде: и подставив результат в (5.3) получим: .

Аналогично действующие значения ЭДС и напряжения: и .

Таким образом действующие значения синусоидальных величин в раз меньше их амплитудных значений.

В ряде случаев при анализе и расчете процессов в цепях требуется знать средние значения переменных токов (ЭДС, напряжений).

Среднее значение тока (ЭДС, напряжения) – это среднее арифметическое значение тока (ЭДС, напряжения) за интервал времени. Для синусоидальных величин в качестве интервала времени выбирают половину периода, т.е. , т.к. среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю. Среднее значение синусоидального тока:

. (5.5)

Аналогично для ЭДС и напряжения: , .

studopedia.ru

13. Действующие и среднее значения токов и напряжений в цепях переменного тока.

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока. Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в

Рис. 1-3

проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе.

Исходя из определения, установим соотношение между действующим и амплитудным значениями.

Пусть при постоянном токе I (и равном ему действующем значении переменного тока) в некотором активном сопротивлении R за период Т переменного тока выделится теплота Q:

Теплота dQ, выделяемая переменным током в том же сопротивлении R за бесконечно малый промежуток dt в любой момент цикла, может быть выражена через мгновенное значение тока к

Примем далее, что ток изменяется по закону синуса:

тогда

и за период Т выделится теплота

после некоторых преобразований —

Легко видеть, что второй интеграл равен нулю, тогда остается

Приравняв (1.5) и (1 6), найдем действующее значение переменного тока:

Выражения для действующих значений ЭДС и напряжения аналогичны выражению (1.7)

В соответствии с ГОСТом действующие значения силы тока, ЭДС и напряжения обозначают соответственно прописными латинскими буквами без индексов

Электроизмерительные приборы переменного тока градуируют в действующих значениях измеряемых величин.

14. Цифро-аналоговые и аналогово-цифровые преобразователи.

Цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) служат для преобразования информации из цифровой формы в аналоговый сигнал – суммирование токов и напряжений. ЦАП широко применяется в различных устройствах автоматики для связи цифровых ЭВМ с аналоговыми элементами и системами.

Принцип работы ЦАП состоит в суммировании аналоговых сигналов, пропорциональных весам разрядов входного цифрового кода, с коэффициентами, равными нулю или единице в зависимости от значения соответствующего разряда кода.

ЦАП преобразует цифровой двоичный код Q₄Q₃Q₂Q₁в аналоговую величину, обычно напряжение U_вых.. Каждый разряд двоичного кода имеет определенный вес i-го разряда вдвое больше, чем вес (i-1)-го. Работу ЦАП можно описать следующей формулой:

U_вых=e*(Q₁ 1+Q₂*2+Q₃*4+Q₄*8+…), (1)

где e - напряжение, соответствующее весу младшего разряда, Q_i- значение i -го разряда двоичного кода (0 или 1).

Например, числу 1001 соответствует

U_вых=у*(1*1+0*2+0*4+1*8)=9*e, а числу 1100

U_вых=e*(0*1+0*2+1*4+1*8)=12*e.

На рисунке 3.3.4.1 приведена схема цифро - аналогового преобразователя.

Рисунок 3.3.4.1 - Схема цифро-аналогового преобразователя

Упрощенная схема реализации ЦАП представлена на рис1. В схеме i – й ключ замкнут при Q_i=1, при Q_i=0 – разомкнут. Регистры подобраны таким образом, что R>>Rн.

Эквивалентное сопротивление обведенного пунктиром двухполюсника Rэк и сопротивление нагрузки Rн образуют делитель напряжения, тогда

Uвых = E Rн / Rэк + Rн » E*Rн / Rэк (2)

Проводимость двухполюсника 1 / Rэк равна сумме проводимостей ветвей (при Q_i=1 i – ветвь включена, при Q_i=0 – отключена):

1 / Rэк = Q1 / 8R + Q2 / 4R + Q3 / 2R + Q4 / R (3)

Подставив (3) в (2), получаем выражение, идентичное (1)

Uвых = (8Е Rн / R)*( Q₁*1 + Q₂*2 + Q₃*4 + Q₄*8 )

Очевидно, что е = 8Е Rн / R. Выбором е можно установить требуемый масштаб аналоговой величины.

2. Аналогово-цифровые преобразователи. В информационных и управляющих системах часть (или вся) информация от датчиков бывает представлена в аналоговой форме. Для ее ввода в цифровые ЭВМ и цифровое управляющее устройство широко применяются аналогово-цифровые преобразователи (АЦП). В большинстве случаев АЦП выполняют преобразование входного напряжения или тока в двоичный цифровой код.

Существуют различные типы АЦП. Мы остановимся лишь на тех типах, которые получили в настоящее время наибольшее распространение.